Точные решения задачи Дирихле – Неймана для обобщённого уравнения Трикоми

Целью работы является поиск условий, при выполнении которых уравнение Трикоми имеет точные решения и нахождение этих решений.

Процедура и методы. Рассматривается задача Дирихле – Неймана для многомерного обобщения уравнения Трикоми в бесконечной области, ограниченной двумя гиперплоскостями. С помощью преобразования Фурье показано, что эта задача в области эллиптичности уравнения имеет единственное решение в классе функций медленного роста.

Результаты. Показано, что в случае, когда правые части уравнения и граничных условий являются полигармоническими функциями (в частности полиномами), существуют точные решения задачи. Приведён алгоритм получения решения.

Теоретическая и практическая значимость заключается в нахождении условий существования точных решений задачи и нахождении самих точных решений, которые могут использоваться для проверки точности приближенных методов.

1. Tricomi F. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine, di tipo misto // Atti Della Reale Accademia Dei Lincei. Serie Quinta. Rendiconti. Classe di Scienze di Fisiche, Matematiche e Naturale. 1923. Vol. 14. P. 134–247.

2. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.:ОГИЗ, 1947. 191 с.

3. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. 208 с.

4. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 712 с.

5. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

6. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в смешанных областях // Доклады Академии наук СССР. 1958. Т. 122. № 2. С. 167–170.

7. Нахушев А. Н. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 1. С. 190–191.

8. Ruzhansky M., Torebek B. T., Turmetov B. Well-posedness of Tricomi Gellerstedt – Keldysh-type fractional elliptic problems // Journal of Integral Equations and Applications. 2022. Vol. 4. No. 3. P. 373–387. DOI: 10.1216/jie.2022.34.373.

9. Nytrebych Z. M. The differential-symbol method of solving the problem with local two point in time conditions for a partial differential equation // Journal of Mathematical Sciences. 2021. Vol. 254. No. 3. P. 406–415. DOI: 10.1007/s10958-021-05312-7.

10. Zhang X. Generalized Tikhonov regularization method for an inverse boundary value problem of the fractional elliptic equation // Boundary Value Problems. 2024. Vol. 2024. No. 1. Article no. 80. DOI: 10.1186/s13661-024-01887-7.

11. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 318 с.

12. Алгазин О. Д. Полиномиальные решения смешанной краевой задачи Дирихле – Неймана для уравнения Трикоми в полосе // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Математика-Физика. 2018. № 3. С. 8–21. DOI: 10.18384-2310-7251-2018-3-8-21.