К проблеме замыкания системы моментных уравнений

Цель: сформулировать принцип отбора корректных физико-математических моделей, основанных на системах дифференциальных уравнений в частных производных.

Процедура и методы. Процедура отбора корректных моделей состоит в сравнительном анализе связей между полными дифференциалами из конвективной части системы уравнений и собственными числами их матриц Якоби. В работе используются метод полных дифференциалов и метод конечных разностей.

Результаты. При увеличении числа моментных уравнений в конечных замкнутых системах, таких как система 10-моментов или 13-моментов Грэда, характеристических скоростей звука может стать несколько, и все они отличаются от акустической. Это приводит к появлению субскачка внутри профиля ударной волны. Решение уравнений Грэда теряют устойчивость уже при M=1.65. Уравнения Навье – Стокса являются акустически согласованными.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенный в работе принцип позволяет исключать математически некорректные модели ещё на начальных этапах их разработки.

1. Maxwell J. C. On the Dynamical Theory of Gases // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1867. Vol. 157. P. 49–88. DOI: 10.1098/RSTL.1867.0004.

2. Boltzmann L. Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig: Johann Ambrosius Barth, 1896. 204 S.

3. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases // Communications on pure and applied mathematics. 1949. Vol. 2. Iss. 4. P. 331–407. DOI: 10.1002/cpa.3160020403.

4. Коган М. Н. Динамика разреженного газ. М.: Наука, 1967. 440 с.

5. Grad H. The Profile of a Steady Plane Shock Wave // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1952. Vol. 5. Iss. 3 P. 257–300. DOI: 10.1002/cpa.3160050304.

6. Struchtrup H., Torrilhon M. Regularization of Grad’s 13 moment equations: Derivation and linear analysis // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. No. 9. P. 2668–2680. DOI: 10.1063/1.1597472.

7. Torrilhon M., Struchtrup H. Regularized 13-moment equations: shock structure calculations and comparison to Burnett models // Journal of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 513. P. 171–198. DOI: 10.1017/S0022112004009917.

8. Different variants of R13 moment equations applied to the shock-wave structure / M. Y. Timokhin, H. Struchtrup, A. A. Kokhanchik, Y. A. Bondar // Physics of Fluids. 2017. Vol. 29. Iss. 3. Article no. 037105. DOI: 10.1063/1.4977978.

9. Bondar Y. A., Shoev G. V., Timokhin M. Y. Regular reflection of shock waves in steady flows: viscous and non-equilibrium effects // Journal of Fluid Mechanics. 2024. Vol. 984. Article no. A10. DOI: 10.1017/jfm.2024.112.

10. Никитченко Ю. А. Вариант замыкания системы моментных уравнений произвольного порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022. T. 62. № 3. С. 499–520. DOI: 10.31857/S0044466922030127.

11. Никитченко Ю. А. Снижение коротковолновой неустойчивости системы моментных уравнений за счет ее расширения // Учёные записки ЦАГИ. 2015. Т. 46. № 1. С. 72-84.

12. Попов С. А. Метод полных дифференциалов для численного решения гиперболических систем уравнений // Труды МАИ. 2006. № 22. C. 5–23.

13. Попов С. А. Интегралы уравнений движения // Вестник Государственного университета просвещения. Серия: Физика-Математика. 2025. № 3. С. 42–62. DOI: 10.18384/10.18384/2949-5067-2025-3-42-62.

14. Schmidt B. Electron beam density measurements in argon // Journal of Fluid Mechanics. 1969. Vol. 39. P. 361–366. DOI: 10.1017/S0022112069002229.

15. Alsmeyer H. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam // Journal of Fluid Mechanics. 1976. Vol. 74. Iss. 3. P. 497 513. DOI: 10.1017/S0022112076001912.

16. Holtz T., Muntz E. P. Molecular velocity distribution functions in an argon normal shock wave at Mach number 7 // Physics of Fluids. 1983. Vol. 26. Iss. 9. P. 2425–2436. DOI: 10.1063/1.864428.