Интегралы уравнений движения

Цель: аналитическое развитие метода полных дифференциалов, созданного ранее для численного решения гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка и построение полной системы интегралов уравнений движения.

Процедура и методы. Метод состоит в том, что системы уравнений в частных производных первого порядка с помощью линейных преобразований сводятся к связям между полными дифференциалами газодинамических переменных вдоль различных направлений. К полученным преобразованным системам применяется процедура интегрирования и выполняется анализ и синтез полученных результатов.

Результаты. Для системы уравнений газовой динамики Эйлера получена полная система интегралов. На основе их анализа получен новый результат о влиянии плоских волн и о гиперповерхностях, образованных точками пересечения этих волн, охватывающих характеристики. Получено новое представление о причинах численной неустойчивости решений общих уравнений газовой динамики методом характеристик. На основании применения метода к уравнению Лапласа получена интегральная теорема Коши.

Теоретическая и практическая значимость. Полные интегралы уравнений Эйлера дают представление о том, как в общем виде устроено его решение. Полученные в работе выражения также могут быть использованы и при построении разностных схем высокого разрешения и высокого порядка аппроксимации. Такие схемы наиболее пригодны для описания переходных режимов течения вязкого теплопроводного газа.

1. Euler L. Principes généraux du mouvement des fluids // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres (Berlin). 1757. Т. 11 (1755). P. 274–315.

2. Riemann B. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1860. Bd. 8. S. 43–66.

3. Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики / пер. с англ. М.: Иностранная литература, 1960. 520 c.

4. Жуков А. И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 1960. Т. 58. С. 3–150.

5. Попов С. А. Моделирование течений сжимаемого газа на основе метода полных дифференциалов // Математическое моделирование. 2005. Т. 17. № 3. С. 99–119.

6. Попов С. А. Метод полных дифференциалов для численного решения гиперболических систем уравнений // Труды МАИ (электронный журнал). 2006. № 22. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=34103 (дата обращения: 25.07.2025).

7. Магомедов К. М. Метод характеристик для численного расчета пространственных течений газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 2. С. 313–325.

8. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

9. Русанов В. В. Характеристики общих уравнений газовой динамики // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. № 3. С. 508–527.

10. Hadamard J. Leçons sur la Propagation des Ondes: Et les Équations de l'Hydrodynamique. Paris: A. Hermann, 1903. 375 p.

11. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 416 с.

12. Зауервайн Х., Зусман М. Устойчивость численных решений при применении метода характеристик к трёхмерному течению // Ракетная техника и космонавтика. 1964. Т. 2. № 2. C. 209–211.

13. Петров И. Б. Сеточно-характеристические методы. 55 лет разработки и решения сложных динамических задач // Computational Mathematics and Information Technologies. 2023. Т. 6. № 1. С. 6–21. DOI: 10.23947/2587-8999-2023-6-1-6-21.

14. Васюков А. В., Смирнов И. Е. Сеточно-характеристический численный метод на нерегулярной расчетной сетке с расширением шаблона интерполяции // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2023. Т. 63. № 10. С. 1591–1599. DOI: 10.31857/S0044466923100174.

15. Воронков С. С. Турбулентность – одна из нерешенных проблем современной физики (краткий обзор) // Вестник науки и образования Северо-Запада России. 2022. Т. 8. № 3. C. 77–85.

16. Nakagawa K., Tsukahara T., Ishida T. DNS Study on Turbulent Transition Induced by an Interaction between Freestream Turbulence and Cylindrical Roughness in Swept Flat-Plate Boundary Layer // Aerospace. 2023. Vol. 10. Iss. 2. Article no. 128. DOI: 10.3390/aerospace10020128.

17. Егоров И. В., Новиков А. В., Чувахов П. В. Численное моделирование развития турбулентных пятен в сверхзвуковом пограничном слое на пластине // Математическое моделирование. 2022. Т. 34. № 7. С. 63–72. DOI: 10.20948/mm-2022-07-04.