ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Целью работы является нахождение приближенного решения первой начально-краевой задачи для параболического уравнения, содержащего степенную нелинейность. Для этого используется приближенно-аналитический метод, основанный на применении априорной оценки решения задачи для линеаризации исходного уравнения. Процедура и методы. На первом шаге метода производится редукция нелинейного уравнения к нагруженному уравнению путём замены нелинейного члена его интегралом по пространственной переменной. Затем устанавливается априорная оценка решения полученной задачи в подходящем функциональном пространстве. Посредством интегрирования нагруженного уравнения по пространственной переменной производится переход к ассоциированному с ним нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению. Последнее линеаризуется с помощью предварительно установленной априорной оценки нагруженной задачи, в которой выбирается верхняя граница неравенства. Приближение к точному решению исходного нелинейного уравнения предлагается производить с помощью итерационного процесса решения последовательности линейных задач. Результаты. Получена формула, выражающая решение нагруженного уравнения через его норму и решение ассоциированного обыкновенного дифференциального уравнения. Приводится пример, иллюстрирующий применение метода к модельной задаче. Теоретическая и/или практическая значимость. Применяемая процедура позволяет получить аналитическое выражение для приближенного решения нелинейной задачи. Метод может быть применён к дифференциальным уравнениям в частных производных любого типа и порядка, содержащих натуральную степень искомой функции или её производной.

нагруженное уравнение, априорная оценка, приближенное решение

1. Бозиев О. Л. Приближенное решение нагруженного гиперболического уравнения с однородными начальными условиями // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. 2017. № 2. С. 49-58. DOI: 10.26456/vtpmk108.

2. Бозиев О. Л. О приближенно-аналитическом методе решения нелинейного гиперболического уравнения с однородными начальными условиями // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2017. № 3. С. 43-52. DOI: 10.18384/2310-7251-2017-3-43-52.

3. Бозиев О. Л. Аппроксимация решений нелинейных параболических уравнений решениями ассоциированных нагруженных уравнений // Нелинейный мир. 2018. Т. 16. № 4. С. 3-10. DOI: 10.18127/j20700970-201804-01.

4. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 368 с.

5. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012. 232 с.

6. Полосков И. Е. Анализ поведения распределенных систем, описываемых стохастическими уравнениями типа КПП // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Информатика. Механика. 2009. № 7 (33). С. 61-65.

7. Филатов А. Н., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 152 с.