BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE POISSON EQUATION IN A HALF-SPACE WITH POLYNOMIAL DATA AND THE CAUCHY PROBLEM
https://doi.org/10.18384/2310-7251-2021-3-6-17
Abstract
Aim. The purpose is to find exact solutions of boundary value problems and the Cauchy problem for the Poisson equation in a half-space with polynomial data. Methodology. The paper considers the Dirichlet and Neumann boundary value problems in a half-space and the Cauchy problem with polynomial data for the Poisson equation. These problems are solved using the Fourier transform of generalized functions of slow growth. Results. It is shown that the Cauchy problem with polynomial data for the Poisson equation has a solution that is a polynomial. This solution is the only one in the class of functions of slow growth in hyperplanes parallel to the hyperplane on which the initial conditions are specified. The polynomial solution is obtained explicitly. Each solution from an infinite set of solutions to the Dirichlet or Neumann problem is a solution to some Cauchy problem. Research implications. We have obtained exact solutions to boundary value problems and the Cauchy problem with polynomial data for the Poisson equation.
References
1. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 296 с.
2. Nevanlinna R. Ueber eine Erweiterung des Poissonschen Integrals // Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Series A. 1925. Vol. 24 (4). P. 1-15.
3. Finkelstein M., Scheinberg S. Kernels for solving problems of Dirichlet type in a half-plane // Advances in Mathematics. 1975. Vol. 18. Iss. 1 P. 108-113. DOI: 10.1016/0001-8708(75)90004-3.
4. Gardiner S. J. The Dirichlet and Neuman problems for Harmonic Functions in Half-Spaces // Journal of the London Mathematical Society. 1981. Vol. s2-24. Iss. 3. P. 502-512. DOI: 10.1112/jlms/s2-24.3.502.
5. Siegel D., Talvila E. O. Uniqueness for the n-dimensional half space Dirichlet problem // Pacific Journal of Mathematics. 1996. Vol. 175. No. 2. P. 571-587.
6. Аракелян Н. У. О задачах Дирихле и Неймана для гармонических функций // Известия НАН Армении. 2008. Т. 43. № 6. С. 21-38.
7. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. 400 с.
8. Никольский С. М. Краевая задача для многочленов // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 1999. Т. 227. С. 223-236.
9. Карачик В. В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54. № 7. С. 1149-1170. DOI: 10.7868/S0044466914070072.
10. Волков Е. А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 102-114.
11. Hayman W. K., Shanidze Z. G. Polynomial solutions of partial differential equations // Methods and Applications of Analysis. 1999. Vol. 6. Iss. 1. P. 97-108. DOI: 10.4310/MAA.1999.v6.n1.a7.
12. Differential-symbol method of constructing the quasipolynomial solutions of a two-point problem for a partial differential equation / Nytrebych Z. M., Il’kiv V. S., Malanchuk O. M., Pukach P. Ya. // Journal of Mathematical Sciences. 2019. Vol. 239. Iss. 1. P. 62-74. DOI: 10.1007/s10958-019-04288-9.
13. Алгазин О. Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое // Математика и математическое моделирование. 2017. № 6. С. 1-18. DOI: 10.24108/mathm/0517.0000082.
14. Алгазин О. Д. Полиномиальные решения задачи Дирихле для уравнения Трикоми в полосе // Математика и математическое моделирование. 2018. № 3. С. 1-12. DOI: 10.24108/mathm/0318.0000120.
15. Алгазин О. Д. Полиномиальные решения смешанной краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Трикоми в полосе // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2018. № 3. С. 8-21. DOI: 10.18384/2310-7251-2018-3-8-21.
16. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.
17. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М: Наука, 1968. 208 с.
Review
Views:
94
Email this article 