Множество двойных комплексных чисел как особое расширение поля комплексных чисел

Цель. Определение особой алгебраической системы на основе поля комплексных чисел со своими операциями сложения и умножения и их свойствами; понятий нормы и аргумента новых чисел; форм их представления, особого пространства как интерпретации этой системы.

Процедура и методы. Анализ алгебраической теории чисел, комплексных гиперкомплексных чисел, теории векторных пространств, теории функций комплексного и переменного.

Результаты. На основе комплексных чисел определена алгебраическая система нового типа, операции которой так же обратимы, как операции на поле комплексных чисел, определены и доказаны свойства операций. Эта система отличается от известных систем гиперкомплексных чисел и является особым расширением поля комплексных чисел. Определены: особое пространство, интерпретирующее данную систему; понятия модуля и аргумента новых чисел; формы их представления. Доказана возможность решения в новой системе определённого типа уравнений, неразрешимых на множестве комплексных чисел.

Теоретическая и/или практическая значимость. Новая алгебраическая система является элементом дальнейшего развития теории чисел и теории векторных пространств, расширяет направления исследований в других областях (разрешимость алгебраических уравнений, теория функций и др.). Результаты имеют и прикладной характер. В частности, разрешимость в новой алгебре не разрешимых ранее комплексных уравнений может использоваться в практических задачах, возможность графического представления функций комплексного переменного можно использовать в математическом моделировании пространственных объектов.

1. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Яковлев Г. Н. Математика: учебное пособие: в2 кн. Кн.1. М.: Издательство «Новая Волна», 2005. 656 с.

2. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. 144 с.

3. Варпаховский Ф. Л., Солодовников А. С., Стеллецкий И. В. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства. Линейные отображения. М.: Просвещение, 1978. 145 с.

4. Сурнев В. Б. Высшая математика для физиков. Линейная алгебра: учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. yн-та, 2020. 440 с.

5. Акимов В. Н., Коновалова И. Н., Корнеева Е. В. Комплексные числа, комплексные векторы и их приложения: учебное пособие. М: РНИМУ им. Н. И. Пирогова Минздрава России, 2024. 103 с.

6. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М.: Наука, 1979. 719 с.

7. Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. М.: Просвещение, 1967. 648 с.

8. Ахтамова С. С., Бадуленко Л. Н. Теория функций комплексного переменного: учеб.-метод. пособие. Красноярск: Сиб. федерал. у-т, 2018. 80 с.

9. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование: учебное пособие М.: КУРС ИНФРА-М, 2016. 402 с.

10. Мисюра Н. Е. Математические модели для аналитического описания сложных геометрических объектов и их преобразований: теория и приложения: автореф. дис. канд. физ-мат. н-к. Екатеринбург, 2018. 17 с.