Априорные оценки интегральной нагрузки гиперболического уравнения Кирхгофа

Цель: установление априорных оценок для интегральной нагрузки гиперболического уравнения Кирхгофа, моделирующего некоторые нелинейные колебательные процессы. Здесь нагрузкой является рациональная степень m / n линейной функции от нормы искомого решения в пространстве H¹(Ω).

Процедура и методы. Для установления априорных оценок производятся интегральные преобразования слагаемых скалярного произведения исходного уравнения и временной производной его решения. Применение некоторого известного интегрального неравенства приводит к искомым оценкам.

Результаты. Установлены априорные неравенства, ограничивающие интегральную нагрузку уравнения Кирхгоффа известной функцией, зависящей от правой части уравнения и начальных условий, зависящие от знака и вида показателя степени. Показан способ редукции уравнения Кирхгоффа к линейному уравнению путём замены интегральной нагрузки правыми частями этих оценок. Приведён пример такой редукции.

Теоретическая и/или практическая значимость. Описанный способ установления априорных оценок и последующей редукции нелинейного уравнения к линейному может быть применён к широкому классу нагруженных уравнений, содержащих модуль интеграла рациональной степени искомой функции или её производной.

1. Похожаев С. И. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений // Математический сборник. 1975. Т. 96 (138). № 1. С. 152–166.

2. Похожаев С. И. Об одном квазилинейном гиперболическом уравнении Кирхгофа // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. № 1. С. 101–108.

3. Nishihara K. Exponential decay of solutions of some quasilinear hyperbolic equations with linear damping // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1984. Vol. 8. Iss. 6. P. 623–636. DOI: 10.1016/0362-546X(84)90007-5.

4. Crippa H. R. On local solutions of some mildly degenerate hyperbolic equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1993. Vol. 21. Iss. 8. P. 565–574. DOI: 10.1016/0362-546X(93)90001-9.

5. Ngoc L. T. P., Long N. T. Linear approximation and asymptotic expansion of solutions in many small parameters for a nonlinear Kirchhoff wave equation with mixed nonhomogeneous conditions // Acta Applicandae Mathematicae. 2010. Vol. 112. P. 137– 169. DOI: 10.1007/s10440-009-9555-9.

6. Frota C. L., Medeiros L. A., Vicente A. Wave equation in domains with non-locally reacting boundary // Differential Integral Equations. 2011. Vol. 24. No. 11/12. P. 1001–1020. DOI: 10.57262/die/1356012872.

7. Frota C. L., Medeiros L. A., Vicente A. A mixed problem for semilinear wave equations with acoustic boundary conditions in domains with non-locally reacting boundary // Electronic Journal of Differential Equations 2014 No. 243. P. 1–14. URL: https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2014/243/frota.pdf (дата обращения: 02.04.2024).

8. Ono K. Lower decay estimates for non-degenerate Kirchhoff type dissipative wave equations // Journal of Mathematics, Tokushima University. 2018. Vol. 52. P. 39−52 [Электронный ресурс]. URL: https://www-math.st.tokushima-u.ac.jp/journal/2018/2018-3-ono.pdf (дата обращения: 02.04.2024).

9. Ono K. Global solvability for mildly degenerate Kirchhoff type dissipative wave equations in bounded domains // Journal of Mathematics, Tokushima University. 2021. Vol. 55. P. 11–18 [Электронный ресурс]. URL https://www-math.st.tokushimau.ac.jp/journal/2021/2021-2-ono.pdf (дата обращения: 02.04.2024).

10. Бозиев О. Л. О линеаризации гиперболических уравнений с интегральной нагрузкой в главной части с помощью априорной оценки их решений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 80. С. 16–25. DOI: 10.17223/19988621/80/2.

11. Бозиев О. Л. Априорные оценки производных решений одномерных неоднородных волновых уравнений с интегральной нагрузкой в главной части // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 89. С. 5–16. DOI: 10.17223/19988621/89/1.

12. Филатов А. Н., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 151 с.