Точные решения краевой задачи Навье для бигармонического уравнения со специальной правой частью в бесконечном слое

   Цель: найти точные решения краевой задачи для бигармонического уравнения в бесконечном n-мерном слое с граничными условиями Навье.

   Процедура и методы. В статье рассмотрена краевая задача для бигармонического уравнения в бесконечном n-мерном слое 𝑥 ∈ Rⁿ, 0 < y < a с граничными условиями Навье. Эта задача сводится к последовательному решению двух задач Дирихле для уравнения Пуассона, явные решения которых получены авторами ранее с помощью преобразования Фурье обобщённых функций медленного роста.

   Результаты. Получены точные решения краевой задачи Навье для бигармонического уравнения, правая часть которого является полигармонической функцией по 𝑥𝑥, в частности, полиномом. В этом случае решение также является полигармонической функцией по 𝑥, в частности, полиномом.

   Теоретическая и/или практическая значимость заключается в получении точных решений краевой задачи Навье для бигармонического уравнения в бесконечном n-мерном слое.

1. Sweers G. A survey on boundary conditions for the biharmonic // Complex Variables and Elliptic Equations. 2009. Vol. 54. Iss. 2. P. 79–93. DOI: 10.1080/17476930802657640.

2. Gazzola F., Grunau H., Sweers G. Polyharmonic Boundary Value Problems: Positivity Preserving and Nonlinear Higher Order Elliptic Equations in Bounded Domains. Berlin: Springer, 2010. 423 p. (Series: Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1991).

3. Meleshko V. V. Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem // Applied Mechanics Reviews. 2003. Vol. 56. Iss. 1. P. 33–85. DOI: 10.1115/1.1521166.

4. Матевосян О. А. О решениях задачи Неймана для бигармонического уравнения в неограниченных областях // Математические заметки. 2015. Т. 98. № 6. С. 944–947. DOI: 10.4213/mzm10980.

5. Карачик В. В., Торебек Б. Т. О задаче Дирихле – Рикье для бигармонического уравнения // Математические заметки. 2017. Т. 102. № 1. С. 39–51. DOI: 10.4213/mzm11035.

6. Примеры точных решений задач изгиба пластины со свободными лицевыми плоскостями / Е. М. Зверяев, М. Д. Коваленко, Д. А. Абруков, И. В. Меньшова, А. П. Кержаев // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2019. № 46. 17 с. URL: https://keldysh.ru/papers/2019/prep2019_46.pdf (дата обращения: 12. 05. 2023). DOI: 10.20948/prepr-2019-46.

7. Алгазин О. Д., Копаев А. В. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое // Математика и Математическое моделирование (сетевое издание МГТУ им. Н. Э. Баумана). 2015. № 4. С. 41–53. URL: https://elpub.ru/elpub-article/mathm/24 (дата обращения: 12. 05. 2023).

8. Алгазин О. Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое // Математика и Математическое моделирование (сетевое издание МГТУ им. Н. Э. Баумана). 2017. № 6. С. 1–18. URL: https://elpub.ru/elpub-article/mathm/82 (дата обращения: 12. 05. 2023). DOI: 10.24108/mathm.0517.0000082.

9. Алгазин О. Д., Копаев А. В. Решение смешанной краевой задачи Дирихле – Неймана для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое // Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2016. № 3. C. 42–56. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-3-42-56.

10. Алгазин О. Д., Копаев А. В. Решение смешанной краевой задачи для системы Моисила – Теодореску в бесконечном слое // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2022. № 2. С. 6–16. DOI: 10.18384/2310-7251-2022-2-6-16.