ОБ АППРОКСИМАЦИИ УРАВНЕНИЯ ХОПФА НАГРУЖЕННЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Цель работы - исследовать на примере уравнения Хопфа способы редукции дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со степенной нелинейностью к нагруженным уравнениям. Применить решение редуцированного уравнения для последовательной аппроксимации решения нелинейного уравнения решениями линеаризованного уравнения. Процедура и методы исследования. Рассмотрено два способа редукции. В первом из них искомая функция в нелинейном члене заменяется её средним значением по пространственной переменной. Для решения вспомогательного обыкновенного дифференциального уравнения возможна вторая редукция, на этот раз к алгебраическому уравнению. Во втором способе производится интегральный переход к нагруженному уравнению. Возникающее здесь вспомогательное уравнение решается с помощью частного решения соответствующего дифференциального неравенства. Результаты проведённого исследования. Предложенные способы редукции после некоторых дополнительных преобразований позволяют получить начальные приближения для запуска итерационного процесса поиска приближенных решений нелинейной задачи. Показана возможность использования с этой целью частных решений дифференциальных неравенств, ассоциированных с уравнением. Теоретическая/практическая значимость состоит в демонстрации возможности применения редукции к нагруженным уравнениям для нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со степенной нелинейностью.

нелинейное уравнение, редукция к нагруженному уравнению, уравнение Хопфа, краевая задача, аппроксимация

1. Бозиев О. Л. О приближенно-аналитическом методе решения нелинейного гиперболического уравнения с однородными начальными условиями // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2017. № 3. С. 43-52.

2. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М: Наука, 2012. 232 с.

3. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 416 с.

4. Задачи по математическим методам физики / И. В. Колоколов, Е. А. Кузнецов, А. И. Мильштейн, Е. В. Подивилов и др. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 288 с.

5. Бозиев О. Л. Решение начально-краевой задачи для нелинейного гиперболического уравнения с помощью двойной редукции к нагруженным уравнениям // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2014. № 4 (60). С. 7-12.

6. Ильин Ю. А. Общие вопросы интегрирования дифференциальных неравенств в явном виде // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). № 4. С. 597-607.

7. Ильин Ю. А. Об интегрировании дифференциальных неравенств в явном виде // Электронный журнал «Дифференциальные уравнения и процессы управления». 2015. № 1. С. 39-61. URL: https://diffjournal.spbu.ru/RU/numbers/2015.1/article.1.3.html (дата обращения: 22.10.2019).

8. Лобанов А. И., Петров И. Б. Численные методы решения уравнений в частных производных [Электронный ресурс] // Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ» : [сайт]. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/1170/213/lecture/5493?page=2 (дата обращения: 12.11.2019).