ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СЛОЕ С ПОЛИНОМАМИ В ПРАВЫХ ЧАСТЯХ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Цель работы - найти точные решения краевых задач для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гипер плоскостями. Процедура и методы исследования. Рассмотрены краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий. Применено преобразование Фурье для обобщённых функций медленного роста. Результаты проведённого исследования. Показано, что краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью имеют решение, которое является квазиполиномом, содержащим кроме степенных функций ещё гиперболические или тригонометрические функции. Это решение единственно в классе функций медленного роста, если параметр уравнения не является собственным значением. Приведён алгоритм построения этого решения и рассмотрены примеры. Теоретическая/практическая значимость заключается в получении точных решений краевых задач для одного из известных уравнений математической физики.

уравнение Гельмгольца, задача Дирихле, задача Дирихле-Неймана, преобразование Фурье, обобщённые функции медленного роста

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

2. Алгазин О. Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое // Математика и математическое моделирование. 2017. №6. С. 1-18.

3. Алгазин О. Д. Полиномиальные решения задачи Дирихле для уравнения Трикоми в полосе // Математика и математическое моделирование. 2018. №3. С. 1-12.

4. Алгазин О. Д. Полиномиальные решения смешанной краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Трикоми в полосе // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2018. № 3. С. 8-21.

5. Никольский С. М. Краевая задача для многочленов // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 1999. Т. 227. С. 223-236.

6. Никольский С. М. Еще о краевой задаче с многочленами // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 286-288.

7. Карачик В. В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54. № 7. С. 1149-1170.

8. Волков Е. А. Критерий разрешимости краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на специальных треугольниках и прямоугольнике в алгебраических многочленах // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 1999. Т. 227. С. 122-136.

9. Волков Е. А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Труды математического института им. В. А Стеклова. 2001. Т. 232. С. 102-114.

10. Hayman W. K., Shanidze Z. G. Polynomial solutions of partial differential equations // Methods and Applications of Analysis. 1999. Vol. 6. No. 1. P. 97-108.

11. Differential-symbol method of constructing the quasi-polynomial solutions of a two-point problem for a partial differential equation / Nytrebych Z. M., Il’kiv V. S., Pukach P. Ya., Malanchuk O. M. // Journal of Mathematical Sciences. 2019. Vol. 239. Iss. 1. P. 62-74.

12. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.