<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD JATS (Z39.96) Journal Publishing DTD v1.3 20210610//EN" "JATS-journalpublishing1-3.dtd">
<article article-type="research-article" dtd-version="1.3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xml:lang="ru"><front><journal-meta><journal-id journal-id-type="publisher-id">phmath</journal-id><journal-title-group><journal-title xml:lang="ru">Вестник Государственного университета просвещения. Серия: Физика-Математика</journal-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Bulletin of Federal State University of Education. Series: Physics and Mathematics</trans-title></trans-title-group></journal-title-group><issn pub-type="ppub">2949-5083</issn><issn pub-type="epub">2949-5067</issn><publisher><publisher-name>Federal State University of Education</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="doi">10.18384/2949-5067-2026-2-58-76</article-id><article-id custom-type="elpub" pub-id-type="custom">phmath-772</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Research Article</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="ru"><subject>ФИЗИКА</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="en"><subject>PHYSICS</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Использование уравнений Навье – Стокса – Фурье с искусственной вязкостью для построения картины обтекания острой кромки</article-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Usage of Navier–Stokes–Fourier equations with artificial viscosity for calculation of the flow around sharp edge</trans-title></trans-title-group></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Красавин</surname><given-names>Е. Э.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Krasavin</surname><given-names>E. E.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Красавин Егор Эдуардович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Аэродинамика, динамика и управление летательных аппаратов»</p><p>г. Москва</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Egor E. Krasavin – Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Department of Aerodynamics, Dynamics and Control of Aircraft</p><p>Moscow</p></bio><email xlink:type="simple">krasavin.ieghor@mail.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Яско</surname><given-names>П. А.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Yasko</surname><given-names>P. A.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Яско Пётр Андреевич – студент кафедры «Аэродинамика, динамика и управление летательных аппаратов»</p><p>г. Москва</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Pyotr A. Yasko – Student, Department of Aerodynamics, Dynamics and Control of Aircraft</p><p>Moscow</p></bio><email xlink:type="simple">petya.yasko@mail.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib></contrib-group><aff-alternatives id="aff-1"><aff xml:lang="ru"><institution>Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)</institution><country>Россия</country></aff><aff xml:lang="en"><institution>Moscow Aviation Institute (National Research University)</institution><country>Russian Federation</country></aff></aff-alternatives><pub-date pub-type="collection"><year>2026</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>14</day><month>10</month><year>2026</year></pub-date><volume>0</volume><issue>2</issue><fpage>58</fpage><lpage>76</lpage><permissions><copyright-statement>Copyright &amp;#x00A9; Красавин Е.Э., Яско П.А., 2026</copyright-statement><copyright-year>2026</copyright-year><copyright-holder xml:lang="ru">Красавин Е.Э., Яско П.А.</copyright-holder><copyright-holder xml:lang="en">Krasavin E.E., Yasko P.A.</copyright-holder><license xml:lang="ru" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.</license-p></license><license xml:lang="en" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.</license-p></license></permissions><self-uri xlink:href="https://www.physmathmgou.ru/jour/article/view/772">https://www.physmathmgou.ru/jour/article/view/772</self-uri><abstract><p>Целью данной работы является оценка результатов расчёта модели Навье – Стокса – Фурье с искусственно введённой точкой торможения для описания обтекания острой кромки при умеренно сверхзвуковых числах Маха.</p><sec><title>Методология и методы</title><p>Методология и методы. В работе использована система уравнений Навье – Стокса – Фурье с использованием искусственной вязкости. Применяемая модель отличается искусственно вводимой точкой торможения. Для реализации модели были использован численный метод решения данных дифференциальных уравнений с использованием противопоточной схемы.</p></sec><sec><title>Результаты</title><p>Результаты. Получены результаты расчётов для чисел Маха 2, 3 с разными коэффициентами введения точки торможения бета в диапазоне от 0.1 до 0.2.</p><p>Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты подтверждают возможность использования данной модели для расчёта плотности и нормальных напряжений при обтекании острых кромок. Модель может быть использована при расчёте кромок носовых частей летательных аппаратов, воздухозаборников и других подобных поверхностей перспективных аппаратов в области авиационной и космической техники.</p></sec></abstract><trans-abstract xml:lang="en"><sec><title>Aim</title><p>Aim. The purpose of this work is to evaluate the results of a Navier–Stokes–Fourier model with an artificially introduced stagnation point to describe flow around a sharp edge at moderate supersonic Mach numbers.</p></sec><sec><title>Methodology</title><p>Methodology. This paper utilizes the Navier–Stokes–Fourier equation system with artificial viscosity. The applied model features an artificially introduced stagnation point. A numerical method for solving these differential equations using an upwind scheme was used to implement the model.</p></sec><sec><title>Results</title><p>Results. Calculated results for Mach numbers of 2 and 3 with different stagnation point coefficient beta in range from 0.1 to 0.2.</p></sec><sec><title>Research implications</title><p>Research implications. The obtained results confirm the applicability of this model to calculating the density and normal stresses in flow around sharp edges. The model can be used to calculate the edges of nose cones of aircrafts, air intakes, and other similar surfaces of advanced aircraft in the fields of aerospace engineering.</p></sec></trans-abstract><kwd-group xml:lang="ru"><kwd>система уравнений Навье – Стокса – Фурье</kwd><kwd>искусственная вязкость</kwd><kwd>острая  кромка</kwd><kwd>ударная волна</kwd><kwd>точка торможения</kwd></kwd-group><kwd-group xml:lang="en"><kwd>Navier–Stokes–Fourier equations</kwd><kwd>artificial viscosity</kwd><kwd>shock wave sharp edge</kwd></kwd-group></article-meta></front><back><ref-list><title>References</title><ref id="cit1"><label>1</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Кузнецов М. М., Смотрова Л. В. Аналитические свойства эффекта высокоскоростной поступательной неравновесности // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика – Математика. 2013. № 3. С. 68–75.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Kuznetsov, M. M. &amp; Smotrova, L. V. (2013). Analytical qualities of highvelocity translational nonequilibrium in shock wave. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics-Mathematics, 3, 68–75 (in Russ.).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit2"><label>2</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Кузнецов М. М., Липатов И. И. Асимптотический анализ эффектов поступательной неравновесности в гиперзвуковом течении около плоской поверхности с острой передней кромкой // Письма в Журнал технической физики. 2008. Т. 34. № 8. С. 21–28.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Kuznetsov, M. M., Lipatov, I. I. &amp; Nikol'skii, V. S. (2008). Asymptotic analysis of the translational nonequilibrium effects in a hypersonic flow past a flat surface with sharp leading edge. In: Technical DOI: 10.1134/S1063785008040172. Physics Letters, 34 (4), 327–330.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit3"><label>3</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Куликов С. В., Терновая О. Н., Черешнев С. Л. Специфика поступательной неравновесности во фронте ударной волны в однокомпонентном газе // Химическая физика. 1993. Т. 12. № 3. С. 340–342.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Kulikov, S. V., Ternovaya, O. N. &amp; Chereshnev, S. L. (1994). Specificity of translational nonequilibrium in the Shock Wave Front Propagating through a Single-Component Gas. In: Soviet Journal of Chemical Physics, 12 (10–12), 470–473.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit4"><label>4</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Шершнёв А. А., Кудрявцев А. Н., Бондарь Е. А. Численное моделированием сверхзвукового течения газа около плоской пластины на основе кинетических и континуальных моделей // Вычислительные технологии. 2011. Т. 16. № 6. С. 93–104.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Shershnev, A. A., Kudryavtsev, A. N. &amp; Bondar, Ye. A. (2011). Numerical simulation of a supersonic gas flow past a flat plate вased on кinetic and сontinuum models. In: Computational Technologies, 16 (6), 93–104 (in Russ.).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit5"><label>5</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчёт обтекания пластины бесконечного размаха потоком разреженного газа // Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. 7. № 1. С. 102–106.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Erofeev, A. I. &amp; Perepukhov, V. A. (1976). Calculation of the flow of a rarefied gas around a plate of infinite span. In: TsAGI Science Journal, 7 (1), 102–106 (in Russ.).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit6"><label>6</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Gӧkçen T., MacCormack R. W., Chapman D. R. Computational fluid dynamics near the continuum limit // AIAA 8-th Computational Fluid Dynamics Conference (09 June 1987 – 11 June 1987, Honolulu, Hawaii). American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1987. P. 153–158. DOI: 10.2514/6.1987-1115.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Gӧkçen, T., MacCormack, R. W. &amp; Chapman, D. R. (1987). Computational fluid dynamics near the continuum limit. In: AIAA 8-th Computational Fluid Dynamics Conference (09 June 1987 – 11 June 1987, Honolulu, Hawaii). American Institute of Aeronautics and Astronautics, pp. 153–158. DOI: 10.2514/6.1987-1115.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit7"><label>7</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Егоров И. В., Ерофеев А. И. Сопоставление моделирования гиперзвукового обтекания плоской пластины на основе метода Монте-Карло и уравнений Навье – Стокса // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 1997. № 1. С. 135–144.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Egorov, I. V. &amp; Erofeev, A. I. (1997). Continuum and kinetic approaches to the simulation of the hypersonic flow past a flat plate. In: Fluid Dynamics, 32, 112–122. DOI: 10.1007/BF02697944.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit8"><label>8</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Березко М. Э., Никитченко Ю. А. Численное решение задачи гиперзвукового обтекания тонкой пластины // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2022. № 2. С. 87–95. DOI: 10.31857/S0568528122020025.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Berezko, M. E. &amp; Nikitchenko, Yu. A. (2022). Numerical Solution of the Problem of Hypersonic Flow Past a Thin Plate. In: Fluid Dynamics, 57, 193–201. DOI: 10.1134/S0015462822020021.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit9"><label>9</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Aoki K., Kanba K., Takata Sh. Numerical analysis of a supersonic rarefied gas flow past a flat plate // Physics of Fluids. 1997. Vol. 9. Iss. 4. P. 1144–1161. DOI: 10.1063/1.869204.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Aoki, K., Kanba, K. &amp; Takata, Sh. (1997). Numerical analysis of a supersonic rarefied gas flow past a flat plate. In: Physics of Fluids, 9 (4), 1144–1161. DOI: 10.1063/1.869204.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit10"><label>10</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Красавин Е. Э., Никитченко Ю. А. Вариант расчёта обтекания тонкой пластины с использованием модели Навье – Стокса – Фурье // Учёные записки ЦАГИ. 2024. Т. 55. № 3. С. 42–49.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Krasavin, E. E. &amp; Nikitchenko, Yu. A. (2024). Variant of calculation flow on a thin plate using the Navier – Stokes – Fourier model. In: TsAGI Science Journal, 55 (3), 42–49 (in Russ.).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit11"><label>11</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М.: Издлательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1967. 440 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Kogan, M. N. (1967). Dynamics of a Rarefied Gas. Moscow: Nauka publ. (in Russ.).</mixed-citation></citation-alternatives></ref></ref-list><fn-group><fn fn-type="conflict"><p>The authors declare that there are no conflicts of interest present.</p></fn></fn-group></back></article>
