phmathВестник Государственного университета просвещения. Серия: Физика-МатематикаBulletin of Federal State University of Education. Series: Physics and Mathematics2949-50832949-5067Federal State University of Education10.18384/2949-5067-2026-2-34-45phmath-770Research ArticleФИЗИКАPHYSICSТемпературное поле тонкого слоя из металлаTemperature field of the thin metal layerhttps://orcid.org/0000-0002-6427-0072ЗавитаевЭ. В.Zavitaev E. V.

Завитаев Эдуард Валерьевич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры К6 «Высшая математика и физика»

г. Мытищи, Московская обл.

Eduard Valerievich Zavitaev  – Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Department K6 “Higher Mathematics and Physics”

 Mytishchi, Moscow Region

eduardzavitaev@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0003-1083-4511РусаковО. В.RusakovO. C.

Русаков Олег Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и физики 

г. Орехово-Зуево, Московская обл.

Oleg Vladimirovich Rusakov  – Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Department of Computer Science and Physics

 Orekhovo-Zuyevo, Moscow Region

olegrusmail@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-6521-6628УткинА. И.UtkinA. I.

Уткин Алексей Игоревич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и физики 

г. Орехово-Зуево, Московская обл.

Alexey Igorevich Utkin – Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Department of Computer Science and Physics

 Orekhovo-Zuyevo, Moscow Region

aiutkin@yandex.ruЧухлебЕ. П.ChukhlebE. P.

Чухлеб Екатерина Петровна – педагог дополнительного образования

 г. Черноголовка, Московская обл.

Ekaterina Petrovna Chukhleb – teacher of additional education

Chernogolovka, Moscow region

e.chuhleb@mail.ruМытищинский филиал Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана (национального исследовательского университета)РоссияBauman Moscow State Technical University (Mytishchi Branch)Russian FederationГосударственный гуманитарно-технологический университетРоссияState University of Humanities and TechnologyRussian FederationМуниципальное учреждение дополнительного образования «Центр дополнительного образования «Малая академия наук Импульс»РоссияMunicipal Institution of Additional Education “Center for Additional Education “Small Academy of Sciences Impulse”Russian Federation202614102026023445Copyright © Завитаев Э.В., Русаков О.В., Уткин А.И., Чухлеб Е.П., 20262026Завитаев Э.В., Русаков О.В., Уткин А.И., Чухлеб Е.П.Zavitaev  E.V., Rusakov O.C., Utkin A.I., Chukhleb E.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.physmathmgou.ru/jour/article/view/770Цель

Цель. Решение задачи о распределении температурного поля по толщине тонкого металлического слоя с граничными условиями первого рода вследствие выделения джоулевой теплоты при прохождении электрического тока с учётом коэффициентов зеркальности поверхностей проводника.

Процедура и методы

Процедура и методы. В работе представлено математическое описание распределения температурного поля внутри тонкого металлического слоя на основе кинетического подхода.

Результаты

Результаты. Вариация коэффициентов зеркальности при отражении электронов от поверхностей тонкого металлического слоя в случае прохождения высокочастотного тока через него, вызывает неравномерный нагрев слоя, что существенно отличается от классических результатов.

Теоретическая и практическая значимость заключается в расчёте температурных режимов интегральных схем в процессе их эксплуатации.

Aim

Aim. Solving the problem of the distribution of the temperature field over the thickness of a thin metal layer with boundary conditions of the first kind due to the release of Joule heat during the passage of an electric current, taking into account the coefficients of specularity of the conductor surfaces.

Methodology

Methodology. The paper presents a mathematical description of the temperature field distribution inside a thin metal layer based on a kinetic approach.

Results

Results. The variation of the specularity coefficients when electrons are reflected from the surfaces of a thin metal layer in the case of a high-frequency current passing through it causes uneven heating of the layer, which differs significantly from the classical results.

Research implications

Research implications. The theoretical and practical significance lies in calculating the temperature conditions of integrated circuits during their operation.

коэффициент теплопроводностикоэффициенты зеркальности тонкого металлического слоялокальная проводимостьтонкий металлический слойуравнение температурного поляthermal conductivity coefficientspecularity coefficients of a thin metal layerlocal conductivitythin metal layertemperature field equationReferencesВестник Государственного университета просвещения. Серия: Физика-Математика ЛИТЕРАТУРА 2026 / № 2 Борило Л. П. Тонкоплёночные неорганические наносистемы. Томск: Томский государственный университет, 2012. 134 с.Borilo, L. P. (2012). Thin-Film Inorganic Nanosystems. Tomsk: Tomsk State University publ. (in Russ.).Данилина Т. И. Технология тонкоплёночных микросхем. Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2006. 164 с.Danilina, T. I. (2006). Thin-Film Microcircuit Technology. Tomsk: Tomsk Interuniversity Center for Distance Education publ. (in Russ.).Антоненко С. В. Технология тонких плёнок. М.: МИФИ, 2008. 104 с.Antonenko, S. V. (2008). Thin Film Technology. Moscow: MEPhI publ. (in Russ.).Петров Ю. И. Физика малых частиц. М.: Наука, 1982. 359 с.Petrov, Yu. I. (1982). Small Particle Physics. Moscow: Nauka publ. (in Russ.).Уткин А. И., Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Расчёт электрической проводимости тонкого металлического слоя в случае различных коэффициентов зеркальности его поверхностей // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2016. № 9. С. 85–91. DOI: 10.7868/S0207352816090158.Utkin, A. I., Zavitaev, E. V. & Yushkanov, A. A. (2016). Calculation of Electrical Conductivity of Thin Metal Layer with Different Surface Specularity Coefficients. In: Journal of Surface Investigation: X-Ray, Synchrotron and Neutron Techniques, 9, 85–91. DOI: 10.7868/S0207352816090158 (in Russ.).Кузнецова И. А., Савенко О. В., Юшканов А. А. Влияние граничных условий на электрические и гальваномагнитные свойства тонкой металлической плёнки // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2017. № 11. С. 52–60. DOI: 10.7868/S0207352817110063.Kuznetsova, I. A., Savenko, O. V. & Yushkanov, A. A. (2017). Influence of Boundary Conditions on the Electric and Galvanomagnetic Properties of a Thin Metal Film. In: Journal of Surface Investigation: X-Ray, Synchrotron and Neutron Techniques, 11, 52–60. DOI: 10.7868/S0207352817110063 (in Russ.).Расчёт высокочастотной электропроводности тонкого полупроводникового слоя в случае различных коэффициентов зеркальности его поверхностей / И. А. Кузнецова, Д. Н. Романов, О. В. Савенко, А. А. Юшканов // Микроэлектроника. 2017. Т. 46. № 4. С. 275–283. DOI: 10.7868/S0544126917040032.Kuznetsova, I. A., Romanov, D. N., Savenko, O. V. & Yushkanov, A. A. (2017). Calculating the high-frequency electrical conductivity of a thin semiconductor film for different specular reflection coefficients of its surface. In: Russian Microelectronics, 46 (4), 252–260. DOI: 10.1134/S1063739717040059 (in Russ.).Кузнецова И. А., Савенко О. В., Юшканов А. А. Расчёт высокочастотной электропроводности и постоянной холла для тонкой металлической плёнки // Журнал технической физики. DOI: 10.21883/JTF.2017.12.45196.1831. 2017. Т. 87. № 12. С. 1769–1775.Kuznetsova, I. A., Savenko, O. V. & Yushkanov, A. A. (2017). Calculation of the RF Conductivity and Hall Constant of a Thin Metal Film. In: Technical Physics, 62 (12), 1766 1771. DOI: 10.1134/S1063784217120143 (in Russ.).Проводимость тонкого слоя в случае неоднородного электрического поля / Э. В. Завитаев, О. В. Русаков, Т. Э. Симонова, А. И. Уткин // Современная электродинамика. 2025. Т. 4. № 3 (17). С. 4–13. DOI: 10.24412/2949-0553-2025-317-04-13.Zavitaev, E. V., Rusakov, O. V., Simonova, T. E. & Utkin, A. I. (2025). The Conductivity of a Thin Layer in the Case of an Inhomogeneous Electric Field. In: Modern Electrodynamics, 3 (17), 4–13. DOI: 10.24412/2949-0553-2025-317-04-13 (in Russ.).Теплотехника: учебник для вузов / под ред. А. П. Баскакова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 224 с. 11. Теплотехника: учебник для втузов / под общ. ред. А. М. Архарова и В. Н. Афанасьева; 2-е изд., перераб. и доп. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. 712 с.Baskakov, A. P. (ed.) (1991). Heat Engineering. Moscow: Energoatomizdat publ. (in Russ.).Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 656 с.Arkharov, A. M. & Afanasyev, V. N. (eds.) (2004). Heat Engineering. Moscow: Heat Engineering. Moscow: Bauman Moscow State Technical University publ. (in Russ.).Завитаев Э. В., Русаков О. В., Чухлеб Е. П. Локальная проводимость cубмикронного металлического слоя с учётом поправки к закону Видемана-Франца // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика Математика. 2019. № 2. С. 74–82. DOI: 10.18384/2310-7251-2019-2-74-82.Landau, L. D. & Lifshits, E. M. (2005). Electrodynamics of Continuous Media. Moscow: FIZMATLIT publ. (in Russ.).Zavitaev, E. V, Rusakov, O. V. & Chukhleb, E. P. (2019). Local conductivity of a submicron metal layer with allowance for a correction to the Wiedemann–Franz law. In: Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2, 74–82. DOI: 10.18384/2310-7251-2019-2-74-82 (in Russ.).Zavitaev, E. V, Rusakov, O. V. & Chukhleb, E. P. (2019). Local conductivity of a submicron metal layer with allowance for a correction to the Wiedemann–Franz law. In: Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2, 74–82. DOI: 10.18384/2310-7251-2019-2-74-82 (in Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.