phmathВестник Государственного университета просвещения. Серия: Физика-МатематикаBulletin of Federal State University of Education. Series: Physics and Mathematics2949-50832949-5067Federal State University of Education10.18384/2949-5067-2025-4-100-109phmath-735Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПоследовательности со степенными свойствамиSequences with Power-Law Propertieshttps://orcid.org/0000-0001-8861-0580КанИ. Д.KanI.

Игорь Давидович Кан, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, профессор

кафедра № 311 «Прикладные программные средства и математические методы»

Москва

Igor D. Kan, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Leading Researcher, Prof.

Department No. 311 “Applied Software and Mathematical Methods”

Moscow

igor.kan@list.ruhttps://orcid.org/0000-0002-0813-2863ЗверевН. А.ZverevN.

Николай Андреевич Зверев, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, доцент

кафедра № 311 «Прикладные программные средства и математические методы» 

Москва

Nikolay A. Zverev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Researcher, Assoc. Prof.

Department No. 311 “Applied Software and Mathematical Methods”

Moscow

nikolayzverev1995@gmail.comhttps://orcid.org/0009-0008-5190-3484ДавиденкоЕ. В.DavidenkoE.

Екатерина Валерьевна Давиденко, техник

НИО-311 (научно-исследовательский отдел кафедры № 311 «Прикладные программные средства и математические методы») 

Москва

Ekaterina V. Davidenko, Technician

NIO-311 (Research Department of the Department No. 311 “Applied Software and Mathematical methods”)

Moscow

katya.davidenko.01@mail.ruМосковский авиационный институт (национальный исследовательский университет)РоссияMoscow Aviation Institute (National Research University)Russian Federation20251904202604100109Copyright © Кан И.Д., Зверев Н.А., Давиденко Е.В., 20262026Кан И.Д., Зверев Н.А., Давиденко Е.В.Kan I., Zverev N., Davidenko E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.physmathmgou.ru/jour/article/view/735

   Цель настоящей работы заключается в доказательстве теорем о существовании, несуществовании и делимости степенных последовательностей.

   Степенные последовательности, рассматриваемые в статье, состоят из элементов, на которых обобщаются свойства известных диофантовых уравнений, например неразрешимое уравнение из Великой теоремы Ферма или уравнение, связывающее длины сторон прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

   Процедуры и методы

   Процедуры и методы. В настоящей работе используются в основном методы элементарной теории чисел.

   Результаты

   Результаты. Результатом работы являются полностью доказанные теоремы о последовательностях, обобщающих диофантовы уравнения высоких степеней.

   Теоретическая значимость исследования заключается в обобщении понятия диофантовых уравнений на множество последовательностей. Работа носит сугубо теоретический характер.

   Aim

   Aim. The purpose of this paper is to prove theorems on the existence, nonexistence, and divisibility of power sequences.

   The power sequences considered in this paper consist of elements that generalize the properties of well-known Diophantine equations, such as the unsolvable equation in Fermat's Last Theorem or the equation relating the lengths of the sides of a right triangle using the Pythagorean theorem.

   Methodology

   Methodology. In this work, the methods of elementary number theory were mainly used. In this work, the methods of elementary number theory were mainly used.

   Results

   Results. The result of the work is completely proven theorems on sequences generalizing Diophantine equations of high degrees.

   Research implications

   Research implications. The theoretical significance of this study lies in its generalization of the concept of Diophantine equations to a set of sequences. The work is purely theoretical in nature.

великая теорема Фермадиофантово уравнениепифагоровы тройкипоследовательностьтеорема ПифагораFermat's Great TheoremThe Diophantine equationPythagorean triplessequenceThe Pythagorean TheoremИсследование выполнено в рамках гранта РНФ № 25-21-00273 «Исследование научных основ вывода теорем Ламе и Бургейна-Конторовича с целью их уточнения и обобщения на более широкие классы аргументных множеств»This research was supported by an RNF grant No. 25-21-00273 “A study of the scientific foundations of the derivation of the Lamé and Bourgain-Kontorovich theorems with the aim of refining them and generalizing them to wider classes of argument sets”ReferencesАльварес Л. Ф. Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма. М.: Де Агостини, 2015. 160 с. (Серия: Наука. Величайшие теории. Вып. 18).Alvarez, L. F. (2015). The Hardest Problem in the World. Fermat. Fermat's Last Theorem. Moscow: De Agostini publ. (Series: Science. Greatest Theories. Vol. 18) (in Russ.).Виолант-и-Хольц А. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике. М.: Де Агостини, 2014. 151 с. (Серия: Мир математики. Т. 9).Violant i Holz, A. (2014). Fermat's Riddle. A Three-Century Challenge to Mathematics. Moscow: De Agostini publ. (Series: The World of Mathematics. Vol. 9) (in Russ).Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. М.: МЦНМО, 2009. 552 с.Manin, Yu. I. & Panchishkin, A. A. (2009). Introduction to Modern Number Theory. Moscow: Moscow: Moscow Center for Continuous Mathematical Education publ. (in Russ.).Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982. 240 с.Postnikov, M. M. (1982). Introduction to the Theory of Algebraic Numbers. Moscow: Nauka publ. (in Russ.).Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. М.: Мир, 2003. 429 с.Ribenboim, P. (2003). Fermat's Last Theorem for Amateurs. Moscow: Mir publ. (in Russ.).Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦНМО, 2000. 288 с.Singh, S. (2000). Fermat's Last Theorem. Moscow: Moscow Center for Continuous Mathematical Education publ. (in Russ.).Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма; 3-е издание. М.: ОНТИ, 1934. 55 с.Khinchin, A. Ya. (1934). Fermat's Last Theorem. Moscow: ONTI (United Scientific and Technical Publishing House) publ. (in Russ.).Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир, 1980. 488 с.Edwards, G. (1980). Fermat's Last Theorem. Moscow: Mir publ. (in Russ.).Darmon H. A Proof of the Full Shimura-Taniyama-Weil Conjecture Is Announced // Notices of the American Mathematical Society. 1999. Vol. 46. No. 11. P. 1397–1406.Darmon, H. (1999). A Proof of the Full Shimura-Taniyama-Weil Conjecture Is Announced. In: Notices of the American Mathematical Society, 46 (11), 1397–1406.Conrad B., Diamond F., Taylor R. Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representation // Journal of the American Mathematical Society. 1999. Vol. 12. No. 2. P. 521–567.Conrad, B., Diamond, F. & Taylor, R. (1999). Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representation. In: Journal of the American Mathematical Society, 12 (2), 521–567.Стюарт И. Величайшие математические задачи. М.: Альпина нон-фикшн, 2016. 460 с.Stewart, I. (2016). The Greatest Mathematical Problems. Moscow: Alpina Non-Fiction publ. (in Russ.).Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem // Annals of Mathematics. 1995. Vol. 141. Iss. 3. P. 443–551. DOI: 10.2307/2118559.Wiles, A. (1995). Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem. In: Annals of Mathematics, 141 (3), 443–551. DOI: 10.2307/2118559.Соловьев Ю. П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский Образовательный Журнал. 1998. № 2. С. 135–138.Soloviev, Yu. P. (1998). Taniyama's Conjecture and Fermat's Last Theorem. In: Soros Educational Journal, 2, 135–138 (in Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.