С помощью предложенного в работе несложного математического подхода продемонстрировано строгое вычисление символов Кристоффеля, а также тензора Римана, заведомо имеющих правильную геометрическую размерность, что является чрезвычайно важным при решении огромного класса чисто физических задач. В качестве примеров рассмотрены четыре ортогональные системы координат, две из которых это сферическая и цилиндрическая, являющиеся стандартными при изложении любого курса тензорного анализа, а две другие представляют собой параболическую систему координат и ортогональную двухмерную, для которых также продемонстрировано вычисление символов Кристоффеля, оператора Лапласа и тензоров Римана и Риччи, все компоненты которых автоматически имеют правильные геометрические размерности. Продемонстрирован ряд физических приложений описываемого формализма. Рассмотрен пример не ортогональной двухмерной системы координат, с помощью которой приводится подробное вычисление символов Кристоффеля обоих родов и находится выражение для оператора Лапласа с приложением к задачам теории упругости и гидродинамики.
Based on a simple mathematical approach proposed in the paper, we demonstrate a rigorous computation of the Christoffel symbols and the Riemann tensor that obviously have a regular geometric dimension, which is extremely important in solving a huge class of purely physical problems. As examples, we consider four orthogonal coordinate systems, two of which are spherical and cylindrical, i.e. standard for describing any course of tensor analysis, and the other two are parabolic and orthogonal two-dimensional coordinate systems, for which the Christoffel symbols, the Laplace operator, and Riemann and Ricci, whose all components automatically have the correct geometric dimensions, are calculated. A number of physical applications of the described mathematical formalism are demonstrated. An example of a nonorthogonal two-dimensional coordinate system is considered, with the help of which a detailed calculation of the Christoffel symbols of both kinds is given, and an expression is found for the Laplace operator with application to the problems of elasticity theory and hydrodynamics.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.