Цель работы - исследовать на примере уравнения Хопфа способы редукции дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со степенной нелинейностью к нагруженным уравнениям. Применить решение редуцированного уравнения для последовательной аппроксимации решения нелинейного уравнения решениями линеаризованного уравнения. Процедура и методы исследования. Рассмотрено два способа редукции. В первом из них искомая функция в нелинейном члене заменяется её средним значением по пространственной переменной. Для решения вспомогательного обыкновенного дифференциального уравнения возможна вторая редукция, на этот раз к алгебраическому уравнению. Во втором способе производится интегральный переход к нагруженному уравнению. Возникающее здесь вспомогательное уравнение решается с помощью частного решения соответствующего дифференциального неравенства. Результаты проведённого исследования. Предложенные способы редукции после некоторых дополнительных преобразований позволяют получить начальные приближения для запуска итерационного процесса поиска приближенных решений нелинейной задачи. Показана возможность использования с этой целью частных решений дифференциальных неравенств, ассоциированных с уравнением. Теоретическая/практическая значимость состоит в демонстрации возможности применения редукции к нагруженным уравнениям для нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со степенной нелинейностью.
Purpose. We investigate the methods for reducing first-order partial differential equations with power nonlinearity to loaded equations using the example of the Hopf equation. The solution to the reduced equation is applied to a sequential approximation of the solution to a nonlinear equation by solutions to a linearized equation. Methodology and Approach. Two methods of reduction are proposed. In the first of them, the desired function in the nonlinear term is replaced by its average value for the spatial variable. To solve an auxiliary ordinary differential equation, a second reduction is possible, namely, to an algebraic equation. In the second method, an integral transition is made to the loaded equation. The resulting auxiliary equation is solved using a partial solution to the corresponding differential inequality. Results. The proposed methods of reduction after some additional transformations allow one to obtain initial approximations for starting the iterative process of searching for approximate solutions to a nonlinear problem. The possibility of using partial solutions associated with the differential inequality equation is shown. Theoretical and Practical Implications. We have demonstrated the possibility of applying reduction to loaded equations to find approximate solutions to first-order partial differential equations with power nonlinearity.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.