phmathВестник Государственного университета просвещения. Серия: Физика-МатематикаBulletin of Federal State University of Education. Series: Physics and Mathematics2949-50832949-5067Federal State University of Educationphmath-296Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО ФОРМИРОВАНИИ ОСОБЕННОСТЕЙ В ЛИНЕЙНОМ УРАВНЕНИИ АДВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМOn the formation of singularities in the linear advection-diffusion equation with a redefinition of the boundary conditionПелиновскийД. Е.PelinovskyD. .dmpeli@math.mcmaster.caГиниятуллинА. Р.GiniyatullinA. .aginiyatullin@eias.ruНижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева; Университет МакМастера Гамильтон, Онтарии, КанадаРоссияAlexeev Nizhny Novgorod State Technical University; McMaster University Hamilton, Ontario, CanadaRussian FederationНижегородский государственного технического университета им. Р.Е. АлексееваРоссияAlexeev Nizhny Novgorod State Technical UniversityRussian Federation201208012023031524Copyright © Пелиновский Д.Е., Гиниятуллин А.Р., 20232023Пелиновский Д.Е., Гиниятуллин А.Р.Pelinovsky D..., Giniyatullin A...Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.physmathmgou.ru/jour/article/view/296

Рассматривается формирование особенностей в линейном уравнении адвекции-диффузии с переменной скоростью на полу-бесконечной линии. Переменная скорость определяется дополнительным условием на границе, которое моделирует динамику линии соприкосновения гидродинамического потока под углом 180˚. Используя априорные оценки энергии, выведены условия на переменную скорость, которые гарантируют, что достаточно гладкое решение линейного уравнения адвекции-диффузии взрывается за конечное время. Используя класс самоподобных решений, найдена скорость роста решения вблизи особенности. Эта скорость не совпадает с полученными ранее численными решениями поставленной задачи.

We study finite-time singularities in the linear advection–diffusion equation with a variable speed on a semi-infinite line. The variable speed is determined by an additional condition at the boundary, which models the dynamics of a contact line of a hydrodynamic flow at a 180◦ contact angle. Using apriori energy estimates, we derive conditions on variable speed that guarantee that a sufficiently smooth solution of the linear advection–diffusion equation blows up in a finite time. Using the class of self-similar solutions to the linear advection–diffusion equation, we find the blow-up rate of singularity formation. This blow-up rate does not agree with previous numerical simulations of the model problem.

уравнение адвекции-диффузиипеременная скоростьпереопределённые граничные условияформирование особенностейаприорные оценки энергиисамоподобные решенияReferencesBenilov E.S. and Vynnycky M. ``Contact lines with a 180˚ contact angle", submitted to J. Fluid Mech. (2012)Benilov E.S. and Vynnycky M. ``Contact lines with a 180˚ contact angle", submitted to J. Fluid Mech. (2012)Benney D.J. and Timson W.J. ``The rolling motion of a viscous fluid on and off a rigid surface", Stud. Appl. Math. 63 (1980), 93-98.Benney D.J. and Timson W.J. ``The rolling motion of a viscous fluid on and off a rigid surface", Stud. Appl. Math. 63 (1980), 93-98.Chugunova, M. Pugh, and R. Taranets, ``Nonnegative solutions for a long-wave unstable thin film equation with convection", SIAM J. Math. Anal. 42, 1826-1853 (2010).Chugunova, M. Pugh, and R. Taranets, ``Nonnegative solutions for a long-wave unstable thin film equation with convection", SIAM J. Math. Anal. 42, 1826-1853 (2010).Chugunova M. and Taranets R. ``Qualitative analysis of coating flows on a rotating horizontal cylinder", Int. J. Diff. Eqs. 2012 (2012), Article ID 570283, 30 pages.Chugunova M. and Taranets R. ``Qualitative analysis of coating flows on a rotating horizontal cylinder", Int. J. Diff. Eqs. 2012 (2012), Article ID 570283, 30 pages.Murdock J.A., Perturbations: Theory and Methods (SIAM, Philadelphia, 1987).Murdock J.A., Perturbations: Theory and Methods (SIAM, Philadelphia, 1987).Ngan C.G. and Dussan V.E.B., ``The moving contact line with a 180˚ advancing contact angle", Phys. Fluids 24 (1984), 2785-2787.Ngan C.G. and Dussan V.E.B., ``The moving contact line with a 180˚ advancing contact angle", Phys. Fluids 24 (1984), 2785-2787.Pelinovsky D.E., Giniyatullin A.R., and Panfilova Y.A. ``On solutions of a reduced model for the dynamical evolution of contact lines" // Труды НГТУ. 2012. № 4(97).Pelinovsky D.E., Giniyatullin A.R., and Panfilova Y.A. ``On solutions of a reduced model for the dynamical evolution of contact lines" // Труды НГТУ. 2012. № 4(97).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.