С помощью изложенного автором ранее в статье «Об альтернативном вычислении ковариантных производных с приложением к проблемам механики, физики и геометрии» метода вычислен результат действия оператора Лапласа на ковариантную и контравариантную векторные функции. Найдены проекции векторов B и C, определяемые как Bi = (∆A)i и Bi = (∆A)i, на соответствующие криволинейные ортонормированные базисы ei и ei. Приведены общие ковариантные выражения для операторов ∆A и graddivA, справедливые в любой криволинейной системе координат. В качестве справочного материала вычислены проекции вектора Ci = (∆A)i в параболической системе координат. В качестве иллюстрирующего примера решена задача о кручении упруго-деформируемого вертикально стоящего цилиндрического тела в условиях его радиального неравномерного нагрева при условии, что его нижний торец жёстко закреплён.
Based on the method described in our paper “Alternative calculation of covariant derivatives with an application to the problems of mechanics, physics and geometry”, we have calculated the result of the action of the Laplace operator on covariant and contravariant vector functions. The projections of the vectors B and C, defined as Bi = (∆A)i and Ci = (∆A)i, on the corresponding curvilinear orthonormal bases ei and ei are found. The general covariant expressions for the operators ∆A and graddivA that are valid in any curvilinear coordinate system are presented. As a reference material, the projections of the vector Ci = (∆A)i in a parabolic coordinate system are calculated. As an illustrative example, the problem of torsion of an elastically deformable vertically standing cylindrical body under the conditions of its uneven radial heating, provided that its lower end is rigidly fixed, is solved.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.