Алгазин Олег Дмитриевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики и математической физики
105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1
Oleg D. Algazin – Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics
ul. 2-ya Baumanskaya 5, stroenie 1, Moscow 105005
Копаев Анатолий Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики
105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1
Anatoliy V. Kopaev – Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Department of Higher Mathematics
ul. 2-ya Baumanskaya 5, stroenie 1, Moscow 105005
Цель: найти точные решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кусочнооднородном многомерном слое с условиями сопряжения четвёртого рода.Процедура и методы. В статье рассматривается задача Дирихле в кусочно-однородном слое в пространстве произвольной размерности. На внешних граничных гиперплоскостях заданы условия Дирихле, а на внутренней гиперплоскости, разделяющей слой на два слоя равной толщины, задаются условия сопряжения четвёртого рода. Заданные на границе функции считаются обобщёнными функциями медленного роста, в частности, они могут быть полиномами.Результаты. Получены точные решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кусочно-однородном многомерном слое с условиями сопряжения четвёртого рода, которые записываются в виде свёрток быстро убывающих, бесконечно дифференцируемых функций (ядер) с граничными функциями, которые считаются обобщёнными функциями медленного роста. Если граничные функции являются обычными функциями медленного роста, то решения записываются интегральными формулами. В частности, если граничные функции являются полиномами, то решения также являются полиномами.Теоретическая и/или практическая значимость исследования заключается в получении точных решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кусочно-однородном многомерном слое с условиями сопряжения четвёртого рода.
Aim. The purpose is to find exact solutions of the Dirichlet problem for the Laplace equation in a piecewise homogeneous multidimensional layer with fourth-kind conjugation conditions.
Methodology. We consider the Dirichlet problem in a piecewise homogeneous layer in a space of arbitrary dimension. Dirichlet conditions are set on the outer boundary hyperplanes, and conjugation conditions of the fourth kind are set on the inner hyperplane dividing the layer into two layers of equal thickness. The functions defined on the boundary are assumed to be generalized functions of slow growth; in particular, they can be polynomials.
Results. Exact solutions of the Dirichlet problem for the Laplace equation in a piecewise homogeneous multidimensional layer with conjugation conditions of the fourth kind are obtained, which are written as convolutions of rapidly decreasing, infinitely differentiable functions (kernels) with boundary functions, which are considered to be generalized functions of slow growth. If the boundary functions are ordinary functions of slow growth, then the solutions are written by integral formulae. In particular, if the boundary functions are polynomials, then the solutions are also polynomials.
Research implications. We have obtained exact solutions of the Dirichlet problem for the Laplace equation in a piecewise homogeneous multidimensional layer with conjugation conditions of the fourth kind.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.