phmathВестник Государственного университета просвещения. Серия: Физика-МатематикаBulletin of Federal State University of Education. Series: Physics and Mathematics2949-50832949-5067Federal State University of Education10.18384/2310-7251-2022-2-56-69phmath-111Research ArticleФИЗИКАPHYSICSО формуле, приемлемой для вычисления времени полного испарения как мелких, так и крупных сферических капель водыOn the formula acceptable for calculating the time of complete evaporation of both small and large spherical water dropletsКузнецовМ. М.KuznetsovM. M.

Кузнецов Михаил Михайлович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики

141014, Московская обл., г. Мытищи, ул. Веры Волошиной, д. 24

Mikchail M. Kuznetsov – Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Department of Theoretical Physics

ul. Very Voloshinoi 24, Mytishchi 141014, Moscow Region

kuznets-omn@yandex.ruКузьминМ. К.KuzminM. K.

Кузьмин Михаил Кузьмич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и геометрии

141014, Московская обл., г. Мытищи, ул. Веры Волошиной, д. 24

Mikhail K. Kuzmin – Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Department of Mathematical Analysis and Geometry

ul. Very Voloshinoi 24, Mytishchi 141014, Moscow Region

m.kuzmin48@yandex.ruКулешоваЮ. Д.KuleshovaYu. D.

Кулешова Юлия Дмитриевна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики

141014, Московская обл., г. Мытищи, ул. Веры Волошиной, д. 24

Yuliya D. Kuleshova – Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Department of Higher Algebra, Elementary Mathematics and Methods of Teaching Mathematics

ul. Very Voloshinoi 24, Mytishchi 141014, Moscow Region

juliaybogdanova@mail.ruМосковский государственный областной университетРоссияMoscow Region State UniversityRussian Federation202221072022025669Copyright © Кузнецов М.М., Кузьмин М.К., Кулешова Ю.Д., 20222022Кузнецов М.М., Кузьмин М.К., Кулешова Ю.Д.Kuznetsov M.M., Kuzmin M.K., Kuleshova Y.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.physmathmgou.ru/jour/article/view/111

Цель. В работе ставится и решается задача получения аналитических формул для вычисления времени испарения мелких и крупных капель сферической формы.Процедура и методы. В работе использованы аналитические методы математической физики при решении задачи о нестационарном испарении капель. Использованы также численные композитные методы для составления общей формулы для всех режимов испарения капель.Результаты. Получено единое аналитическое выражение, связывающее времена жизни как мелких, так и крупных сферических капель воды. Упомянутые случаи больших и малых капель соответствуют различным асимптотикам. Найдены отдельные формулы для вычисления времени испарения мелких и крупных аэрозольных капель сферической формы. В результате численного анализа этих формул в нестационарном процессе испарения капель воды построена одна более простая формула, приемлемая для вычисления времени жизни как мелких, так и крупных сферических капель воды. Проведено сравнение построенных по этой формуле графиков зависимости времени жизни капли от её начального радиуса при различных значениях температуры среды с результатами, полученными другими авторами.Теоретическая и/или практическая значимость. Статья представляет большой интерес как для теории нестационарного испарения капель, так и для использования полученных результатов в многочисленных практических приложениях.

Aim

Aim. The paper formulates and solves the problem of obtaining analytical formulae for calculating the evaporation time of small and large droplets of spherical shape.

Methodology

Methodology. The paper relies on analytical methods of mathematical physics in solving the problem of non-stationary evaporation of droplets. Use is also made of numerical composite methods to construct a general formula for all regimes of evaporation of droplets.

Results

Results. A unified analytical expression linking the lifetimes of both small and large spherical water droplets is obtained. The mentioned cases of large and small droplets correspond to different asymptotics. Separate formulae for calculating the evaporation time of small and large spherical aerosol droplets are found. As a result of the numerical analysis of these formulae in the non-stationary process of evaporation of water droplets, a simpler formula acceptable for calculating the lifetime of both small and large spherical water droplets is derived. Formula-built graphs of the dependence of the lifetime of the drop on its initial radius at different values of the ambient temperature are compared with those obtained by other authors.

Research implications

Research implications. The paper is of great interest both for the theory of non-stationary evaporation of droplets, and for the use of the obtained results in numerous practical applications.

нестационарный процесс испарения аэрозольных капельмелкие и крупные капли водывремя полного испаренияучёт кривизны поверхности каплианализ формулграфиковnon-stationary process of evaporation of aerosol dropletssmall and large drops of watertime of complete evaporationaccounting for the curvature of the surface of the dropletanalysis of formulasgraphsReferencesФукс Н. А. Испарение и рост капель в газообразной среде. М.: Издательство АН СССР, 1958. 91 с.Fuks N. A. Isparenie i rost kapelʹ v gazoobraznoy srede [Evaporation and growth of drops in a gaseous medium]. Moscow, Academy of Sciences of the USSR Publ., 1958. 91 p.Щукин Е. Р., Яламов Ю. И., Шулиманова З. Л. Избранные вопросы физики аэрозолей: учебное пособие. Москва: Московский педагогический университет, 1992. 297 с.Shchukin E. R., Yalamov Yu. I., Shulimanova Z. L. Izbrannye voprosy fiziki aerozolei [Selected Issues of Aerosol Physics]. Moscow, Moscow Pedagogical University Publ., 1992. 297 p.Козырев А. В., Ситников А. Г. Испарение сферической капли в газе среднего давления // Успехи физических наук. 2001. Т. 171. № 7. С. 765–774. DOI: 10.3367/UFNr.0171.200107c.0765.Kozyrev A. V., Sitnikov A. G. [Evaporation of a spherical droplet in a moderate-pressure gas]. In: Uspekhi fizicheskikh nauk [Advances in Physical Sciences], 2001, vol. 171, no. 7, pp. 765–774. DOI: 10.3367/UFNr.0171.200107c.0765.Азанов Г. М., Осипцов А. Н. Влияние мелких испаряющихся капель на температуру адиабатической стенки в сжимаемом двухфазном пограничном слое // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2016. № 4. С. 67–76. DOI: 10.7868/S0568528116040034.Azanov G. M., Osiptsov A. N. [The effect of fine evaporating droplets on the adiabaticwall temperature in a compressible two-phase boundary layer]. In: Izvestiya Rossiyskoi akademii nauk. Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid Dynamics], 2016, no. 4, pp. 67–76. DOI: 10.7868/S0568528116040034.Прогностическая модель исследования процессов испарения капель воды / Антонов Д. В., Высокоморная О. В., Кузнецов Г. В., Пискунов М. В. // Инженерно-физический журнал. 2019. Т. 92. № 4. С. 936–944.Antonov D. V., Vysokomornaya O. V., Kuznetsov G. V., Piskunov M. V. [Prognosis model for investigating the evaporation of water droplets]. In: Inzhenerno-fizicheskii zhurnal [Journal of Engineering Physics and Thermophysics], 2019, vol. 92, no. 4, pp. 936–944.Особенности методики исследования процесса испарения подвешенных капель жидкости / Бочкарева Е. М., Лей М. К., Терехов В. В., Терехов В. И. // Инженерно-физический журнал. 2019. Т. 92. № 5. С. 2208–2217.Bochkareva Ye. M., Lei M. K., Terekhov V. V., Terekhov V. I. [Methodological characteristics of an experimental investigation of the process of evaporation of suspended liquid droplets]. In: Inzhenerno-fizicheskii zhurnal [Journal of Engineering Physics and Thermophysics], 2019, vol. 92, no. 5, pp. 2208–2217.Высокоморная О. В., Кузнецов Г. В., Стрижак П. А. Прогностическое определение интегральных характеристик испарения капель воды в газовых средах с различной температурой // Инженерно-физический журнал. 2017. Т. 90. № 3. С. 648–657.Vysokomornaya O. V., Kuznetsov G. V., Strizhak P. A. [Predictive determination of the integral characteristics of evaporation of water droplets in gas media with a varying temperature]. In: Inzhenerno-fizicheskii zhurnal [Journal of Engineering Physics and Thermophysics], 2017, vol. 90, no. 3, pp. 648–657.Герасимов Д. Н., Юрин Е. И. Параметры, определяющие кинетические процессы на поверхности испарения // Теплофизика высоких температур. 2015. Т. 53. № 4. С. 530–537. DOI: 10.7868/S0040364415040110.Gerasimov D. N., Yurin E. I. [Parameters determining kinetic processes on an evaporation surface]. In: Teplofizika vysokikh temperature [High Temperature], 2015, vol. 53, no. 4, pp. 530–537. DOI: 10.7868/S0040364415040110.Кузнецов Г. В., Стрижак П. А. Испарение капель воды при движении через высокотемпературные газы // Инженерно-физический журнал. 2018. Т. 91. № 1. С. 104–111.Kuznetsov G. V., Strizhak P. A. [Evaporation of water droplets moving through high-temperature gases]. In: Inzhenerno-fizicheskii zhurnal [Journal of Engineering Physics and Thermophysics], 2018, vol. 91, no. 1, pp. 104–111.Экспериментальное и численное исследования нестационарного испарения капель жидкости / Терехов В. И., Терехов В. В., Шишкин Н. Е., Би К. Ч. // Инженернофизический журнал. 2010. Т. 83. № 5. С. 829–836.Terekhov V. I., Terekhov V. V., Shishkin N. E., Bi K. Ch. [Heat and mass transfer in disperse and porous media experimental and numerical investigations of nonstationary evaporation of liquid droplets]. In: Inzhenerno-fizicheskii zhurnal [Journal of Engineering Physics and Thermophysics], 2010, vol. 83, no. 5, pp. 829–836.Хасанов А. С. Решение задачи об испарении двух капель операторными методами для любых радиусов капель и любых расстояний между ними // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2018. № 2. С. 51–60. DOI: 10.18384-2310-7251-2018-2-51-60.Khasanov A. S. [The solution of the evaporation problem of two drops by operator methods for arbitrary radii of drops and arbitrary distances between them]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-matematika [Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2018, no. 2, pp. 51–60. DOI: 10.18384-2310-7251-2018-2-51-60.О диффузионном испарении (сублимации) крупной аэрозольной частицы при значительных перепадах температуры в ее окрестности / Щукин Е. Р., Малай Н. В., Шулиманова З. Л., Уварова Л. А. // Теплофизика высоких температур. 2015. Т. 53. № 4. С. 561–568. DOI: 10.7868/S004036441503014X.Shchukin E. R., Malay N. V., Shulimanova Z. L., Uvarova L. A. [Diffuse vaporization (sublimation) of a large aerosol particle under precipitous changes in the ambient temperature]. In: Teplofizika vysokikh temperature [High Temperature], 2015, vol. 53, no. 4, pp. 561–568. DOI: 10.7868/S004036441503014X.Корнеева Е. Е., Кузьмин М. К. Начальное и конечное предельные выражения для скорости изменения радиуса нестационарно испаряющейся аэрозольной капли // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: ФизикаМатематика. 2018. № 4. С. 167–177. DOI: 10.18384/2310-7251-2018-4-167-177.Korneeva E. E., Kuzʹmin M. K. [Initial and finite limit expression for the rate of change in the radius of an unsteady evaporating aerosol droplet]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-matematika [Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2018, no. 4, pp. 167–177. DOI: 10.18384/2310-7251-2018-4-167-177.Яламов Ю. И., Кузьмин М. К. Скорость нестационарного испарения сферической капли с учетом скачков концентрации и температуры вблизи ее поверхности // Журнал технической физики. 2005. Т. 75. Вып. 3. С. 30–35.Yalamov Yu. I., Kuzʹmin M. K. [Rate of unsteady of a spherical drop with regard to concentration and temperature discontinuities at its surface]. In: Zhurnal tekhnicheskoi fiziki [Technical Physics], 2005, vol. 75, iss. 3, pp. 30–35.Галоян В. С., Яламов Ю. И. Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван: Луйс, 1985. 208 с.Galoyan V. S., Yalamo Yu. I. Dinamika kapelʹ v neodnorodnykh vyazkikh sredakh [Dynamics of drops in inhomogeneous viscous media]. Yerevan, Luys Publ., 1985. 208 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.